Question

已知函數y＝f(x)的圖像過點(m－2，0)，m∈R，并且f(x－2)＝ax²－(a－3)x＋(a－2)，其中a為負整數，設g(x)＝f[f(x)]，F(x)＝pg(x)－4f(x)．

(1)求f(x)的表達式；

(2)是否存在正實數p，使F(x)在(－∞，f(2))上是增函數，且在(f(2)，0)上是減函數？若存在，求出p；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵圖像過(m－2，0)點， 　　∴m是方程ax2－(a－3)x＋(a－2)＝0的解，即方程存在實根． 　　∴△≥0，從而求出a的值，便可得到f(x)的表達式． 　　(1)依題意ax2－(a－3)x＋(a－2)＝0有實根m， 　　∴△＝[－(a－3)]2－4a(a－2)≥0，得≤a≤． 　　∵a是負整數，∴a＝－1． 　　∴f(x－2)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1． 　　∴f(x)＝1－x2． 　　(2)由f(x)＝1－x2，可得f(2)＝－3，g(x)＝1－(1－x2)2＝2x2－x4． 　　F(x)＝p(2x2－x4)－4(1－x2)，先假設存在正實數p，使F(x)在(－∞，－3]上是增函數，且在(－3，0)上是減函數，由于F(x)是可導函數，∴(－3)＝0． 　　∵(x)＝4x(p＋2－px2)，由(－3)＝0，得 　　p＝，而當p＝時， 　　(x)＝4x(＋2x2)＝－x(x－3)(x＋3)； 　　當x＜－3時，(x)＞0，說明F(x)在(－∞，－3]上是增函數； 　　當－3＜x＜0時，(x)＜0，說明F(x)在(－3，0)上是減函數． 　　綜上所述，滿足條件的p存在且p＝． 　　解析：(1)根據圖像過(m－2，0)點，知m是方程ax2－(a－3)x＋(a－2)＝0的解，即方程有實根，所以由△≥0可以求出a的范圍，再由a為負整數，求出a的值； 　　(2)先求出f(2)，根據導數的性質，F(x)在x＝f(2)時導數為0，列方程求出p，然后驗證p是否滿足題意．