Question

多面體ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．
（1）在BC上找一點N，使得AN∥面BED
（2）求證：面BED⊥面BCD．

Answer 1

解：（1）分別取BC、BD中點為N、M，連接MN、AN、EM
∵MN是△ABC的中位線，∴MN∥CD且MN=CD …（2分）
又∵AE∥CD且AE=CD，
∴MN、AE平行且相等．
∴四邊形AEMN為平行四邊形，得AN∥EM …（4分）
∵AN?面BED，EM?面BED，∴AN∥面BED…（6分）
（2）∵AE⊥面ABC，AN?面ABC，∴AE⊥AN
又∵AE∥CD，AN∥EM，∴EM⊥CD…（8分）
∵N為BC中點，AB=AC，∴AN⊥BC
∴結合AN∥EM得EM⊥BC…（10分）
∵BC、CD是平面BCD內的相交直線，∴EM⊥面BCD…（12分）
∵EM?面BED，
∴面BED⊥面BCD …（14分）
分析：（1）分別取BC、BD中點為N、M，連接MN、AN、EM．可證出四邊形AEMN為平行四邊形，得AN∥EM，結合線面平行的判定定理，可得AN∥面BED；
（2）利用空間線線平行的性質，結合線面垂直的判定與性質可證出EM⊥CD且EM⊥BC，可得EM⊥面BCD，最后根據面面垂直的判定定理，證出面BED⊥面BCD．
點評：本題給出特殊的四面體，求證線面平行并且面面垂直，著重考查了空間線面平行、線面垂直和面面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．