Question

已知函數 
（I）函數在區間上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（II）當時，恒成立，求整數的最大值；
（Ⅲ）試證明： 

Answer 1

（Ⅰ）在區間上是減函數；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）求導即得；（Ⅱ）將分離參數得：在上恒成立，取，則，接下來就利用導數求的最小值  注意到題中要求k為整數，說明只需找出這個最小值所在的整數區間，而不用求出這個最小值
（Ⅲ）注意用前面的結論 由（Ⅱ）可得k的最大值為3，取k=3得：，
待證不等式等價于：
 
再對照，顯然應考慮將此不等式變形：
，
再令，
這樣依次取再將所得不等式相加即得  
試題解析：（Ⅰ）由題        2分
故在區間上是減函數;    3分
（Ⅱ）當時，恒成立，即在上恒成立，取，則，        5分
再取則
故在上單調遞增，
而，      7分
故在上存在唯一實數根，
故時，時，
故故     8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，      10分
又

                 12分

即：          14分
考點：1、導數的應用；2、不等式的證明