Question

（2011•延慶縣一模）已知函數f(x)=

kx2+x

x+1

-ln(x+1)．
（Ⅰ）當k=1時，求函數y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若k＞0且k≠1，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，然后求出切點坐標，再用點斜式寫出直線方程，最后化簡成一般式即可；
（II）先求出導函數f'（x），討論0＜k＜

1

2

，k=

1

2

，

1

2

＜k＜1，k＞1四種情形，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．

解答：解：（Ⅰ）∵k=1，
∴f(x)=

x2+x

x+1

-ln(x+1)=x-ln(x+1)
∴f′(x)=1-

1

x+1

，
∴f′(1)=

1

2

…（2分）
∵f（1）=1-ln2，…（3分）
∴切線方程為y-(1-ln2)=

1

2

(x-1)，
即：y=

1

2

x+

1

2

-ln2…（5分）
（Ⅱ）f′(x)=

(2kx+1)(x+1)-kx2-x

(x+1)

-

1

x+1

=

kx2+(2k-1)x

(x+1)2

…（7分）
令 f'（x）=0，解得x=0，或x=

1-2k

k

…（8分）

令 

1-2k

k

＞0，解得k＜

1

2

，令 

1-2k

k

＞-1，解得k＜1…（10分）
（1）當0＜k＜

1

2

時，

1-2k

k

＞0，
此時f（x）在區間（-1，0）上增，在區間(0，

1-2k

k

)上減，在區間(

1-2k

k

，+∞)上增，…（11分）
（2）當k=

1

2

時，f'（x）≥0，此時f（x）在區間（-1，+∞）上增，…（12分）
（3）當

1

2

＜k＜1時，-1＜

1-2k

k

＜0，
此時f（x）在區間(-1，

1-2k

k

)上增，
在區間(

1-2k

k

，0)上減，在區間（0，+∞）上增，…（13分）
（4）當k＞1時，

1-2k

k

＜-1，
此時f（x）在區間（-1，0）上減，在區間（0，+∞）上增，…（14分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數的單調性等基礎題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想、分類討論的數學思想，屬于基礎題．