Question

直線y=kx+1與曲線y=x³+ax+b相切于點A（1，3），則a-b=

-4

．

Answer 1

分析：由直線y=kx+1與曲線y=x³+ax+b相切于點A（1，3），把點的坐標代入直線方程求k，求出函數在x=1時的導數值，也就是k值，替換后可求a，再把點的坐標代入曲線方程求b，問題得到解決．

解答：解：由y=x³+ax+b，得y^′=（x³+ax+b）^′=3x²+a，
所以曲線y=x³+ax+b在點A（1，3）處的切線的斜率k=3×1²+a=3+a，
又點A（1，3）在直線y=kx+1上，所以3=k×1+1，所以，k=2，即3+a=2，a=-1．
又點A（1，3）在曲線y=x³+ax+b上，所以3=1³+1×（-1）+b，所以b=3．
所以a-b=-1-3=-4．
故答案為-4．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，考查了方程思想，解答此題的關鍵是，明確曲線在某點處的導數值就是曲線在該點處的切線的斜率，此題是中低檔題．