Question

如圖，四棱錐中，都是邊長為的等邊三角形.

（I）證明：

（II）求點A到平面PCD的距離.

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析（II）1

【解析】（Ⅰ）證明：取BC的中點E，連結DE，則ABED為正方形.

過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.

連結OA，OB,OD,OE.

由和都是等邊三角形知PA=PB=PD，

所以OA=OB=OD，即點O為正方形ABED對角線的交點，

故，從而.         

因為O是BD的中點，E是BC的中點，

所以OE//CD.因此.   

（Ⅱ）解：取PD的中點F，連結OF，則OF//PB.

由（Ⅰ）知，，故.

又，，

故為等腰三角形，因此.

又，所以平面PCD.

因為AE//CD，平面PCD，平面PCD，所以AE//平面PCD.

因此O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，而，

所以A至平面PCD的距離為1.

（1）解題的關鍵是輔助線的添加，取BC的中點E是入手點，然后借助三垂線定理進行證明；（2）求點面距的求解方法比較多，在解題過程中，如何根據題設條件恰當選擇相適應的方法是比較棘手的問題。根據解題經驗，總結下面常用的技巧：（1）若直接能夠確定點在平面的射影，可考慮用直接法，找出點面距.一般在一些規則的幾何體中，頂點在底面的射影比較容易確定.如有時要利用兩個平面垂直的性質，在其中一個平面內作兩個平面交線的垂線即得；（2）如果能夠構造出三棱錐，要找的點面距恰好是三棱錐的高，此時利用等體積法比較簡單，但是應該明確另一個頂點到對應底面的距離和底面面積兩個量，才能順利求解，計算過程較為麻煩，但是不用添加輔助線找垂線段. （3）若不易找出射影位置，可考慮利用轉移的方法，即把不易求的點到平面的距離借助轉移手法，變為求另外一點到平面的距離，然后通過這兩點到平面的距離的數量關系求得所求距離的方法，常用的手段有平行轉移和等比例轉移.

【考點定位】本題考查線線垂直的證明和二面角的求解，考查學生的空間想象能力和計算能力。