Question

【題目】已知函數與（為常數）的圖象在它們與坐標軸交點處的切線互相平行.

（1）若關于的不等式有解，求實數的取值范圍；

（2）對于函數和公共定義域內的任意實數，我們把的值稱為兩函數在處的“瞬間距離”.則函數與的所有“瞬間距離”是否都大于2？請加以證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）根據函數的切線平行，利用導數相等可求出c，則原不等式可轉化為，只需求的最大值即可（2）由題意=，只需分析其值大于2即可，構造函數可證，構造并證明，利用不等式傳遞性即可證出.

（1）函數只與軸交于點，只與軸交于點.而，，由得，又由已知顯然，故，， .

那么，不等式可化為 （）

令，則，，又，，故，，則在遞減，，要使（）有解，則應有.

（2）與的公共定義域為，且=

令，則，在遞增，，即 ①

同理，令，則，當時，，遞減；當時，，遞增.

故，即 ②

由①②知， ，故.

故函數與的所有“瞬間距離”都大于2.