Question

已知函數f（x）的定義域為R，且滿足f（x+2）=-f（x）?．
（1）求證：f（x）是周期函數；
（2）若f（x）為奇函數，且當0≤x≤1時，f（x）=x，求f（x）在[-1，3]的解析式；
（3）在（2）的條件下．求使f（x）=-在[0，2 011]上的所有x的個數．

Answer 1

解（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），…（2分）
∴f（x）是以4為一個周期的周期函數．…（4分）
（2）解 當0≤x≤1時，f（x）=x，
設-1≤x≤0，則0≤-x≤1，∴f（-x）=（-x）=-x．
∵f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-x，即f（x）=x．…（6分）
故f（x）=x（-1≤x≤1）…（8分）
再設1＜x≤3，則-1＜x-2≤1，∴f（x-2）=（x-2），
又∵f（x-2）=-f（x），∴-f（x）=（x-2），可得f（x）=-（x-2）（1＜x≤3）．
綜上所述，f（x）在[-1，3]的解析式為：f（x）=…（10分）
（3）由f（x）=-，當x∈[-1，3）時，解得x=-1．
∵f（x）是以4為周期的周期函數．
∴f（x）=-的所有解為x=4n-1 （n∈Z）．…（12分）
令0≤4n-1≤2011，則≤n≤503，
又∵n∈Z，∴1≤n≤503 （n∈Z），
∴在[0，2 011]上共有503個x使f（x）=-．…（14分）
分析：（1）由已知等式f（x+2）=-f（x），用x+2替換x，結合函數周期性的定義和已知條件，不難得到f（x）是以4為一個周期的周期函數．
（2）根據函數在[0，1]上的表達式結合函數為奇函數，可得當-1≤x≤0時，f（x）=x．再設1＜x≤3，則得f（x-2）=（x-2）=-f（x），從而可得f（x）在區間（1，3]上的表達式，綜上所述，可得f（x）在[-1，3]的解析式．
（3）當x∈[-1，3）時，f（x）=-的解是x=-1，再結合f（x）是以4為周期的函數可得：f（x）=-的所有解為x=4n-1 （n∈Z），再解不等式，通過找整數解得到使f（x）=-在[0，2 011]上的所有x的個數．
點評：本題以分段函數為例，求函數的周期并求函數的解析式，著重考查了函數的奇偶性、周期性和方程解的個數討論等知識，屬于基礎題．