【題目】如圖，橢圓
的左、右頂點分別為
，
，上、下頂點分別為
，
，且
，
為等邊三角形，過點
的直線與橢圓
在
軸右側的部分交于
、
兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求四邊形
面積的取值范圍．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）根據
坐標和
為等邊三角形可得
，進而得到橢圓方程；
（2）①當直線
斜率不存在時，易求
坐標，從而得到所求面積；②當直線的斜率存在時，設方程為
，與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式，并確定
的取值范圍；利用
，代入韋達定理的結論可求得
關于的表達式，采用換元法將問題轉化為
，
的值域的求解問題，結合函數單調性可求得值域；結合兩種情況的結論可得最終結果.
（1）
，
，
為等邊三角形，
，
橢圓的標準方程為．
（2）設四邊形
的面積為．
①當直線的斜率不存在時，可得
，
，
．
②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
設
，
，
聯立
得：
，
，
，
．
，
，
，
，
面積
．
令
，則
，
，
令
，則
，，
在定義域內單調遞減，
．
綜上所述：四邊形面積的取值范圍是．
輕松暑假總復習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年，新冠狀肺炎疫情牽動每一個中國人的心，危難時刻眾志成城，共克時艱，為疫區助力．福建省漳州市東山縣共101個海鮮商家及個人為緩解武漢物質壓力，募捐價值百萬的海鮮輸送武漢．東山島，別稱陵島，形似蝴蝶亦稱蝶島，隸屬于福建省漳州市東山縣，是福建省第二大島，中國第七大島，介于廈門市和廣東省汕頭之間，東南是著名的閩南漁場和粵東漁場交匯處，因地理位置發展海產品養殖業具有得天獨厚的優勢．根據養殖規模與以往的養殖經驗，某海鮮商家的海產品每只質量（克）在正常環境下服從正態分布
．
（1）隨機購買10只該商家的海產品，求至少買到一只質量小于265克該海產品的概率；
（2）2020年該商家考慮增加先進養殖技術投入，該商家欲預測先進養殖技術投入為49千元時的年收益增量．現用以往的先進養殖技術投入
（千元）與年收益增量
（千元）．
的數據繪制散點圖，由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線
的附近，且
，
，其中
．根據所給的統計量，求y關于x的回歸方程，并預測先進養殖技術投入為49千元時的年收益增量．
附：若隨機變量
，則
;
對于一組數據
，其回歸線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的參數方程為
（
為參數），直線
經過點
且傾斜角為
.
（1）求曲線的極坐標方程和直線的參數方程；
（2）已知直線與曲線交于
，滿足
為
的中點，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在由三棱錐
和四棱錐
拼接成的多面體
中，
平面
，平面
平面，且是邊長為
的正方形，
是正三角形.
（1）求證：
平面；
（2）若多面體的體積為
，求
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在銳角△ABC中，a＝2
，_______，求△ABC的周長l的范圍．
在①
(﹣cos
，sin)，
(cos，sin)，且
，②cosA(2b﹣c)＝acosC，③f(x)＝cosxcos(x
)
，f(A)
注：這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并對其進行求解．
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