Question

已知函數f(x)=

1

x2-4

(x＜-2)，點An(-

1

an+1

，an)在曲線y=f（x）的圖象上（n∈N^*），且a₁=1．
（1）證明數列{

1

an2

}為等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式
（3）設b_n=

1

1 an + 1 an+1

，記S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）把點An代入函數f（x）中化簡整理

1

an2

=

1

an+12

-4判斷出數列{

1

an2

}為等差數列．
（2）先根據數列{

1

an2

}為等差數列，并且首項為

1

a12

=1，公差為4，求得

1

an2

，進而求得數列{a_n}的通項公式
（3）把（2）中求得a_n代入b_n中，進而用疊加法求得數列的前n項的和．

解答：解：（1）∵點An(-

1

an+1

，an)在曲線y=f（x）的圖象上（n∈N^*）
∴a n=

1

(- 1 an+1 )2-4

=

an+12 1-4an+12

∴a

2 n

=

an+12

1-4an+12

∴

1

an2

=

1

an+12

-4，∴

1

an+12

-

1

an2

=4(n≥1，n∈N)，
∴數列{

1

an2

}為等差數列．
（2）∵數列{

1

an2

}為等差數列，并且首項為

1

a12

=1，公差為4，
∴

1

an2

=1+4（n-1），∴an2=

1

4n-3

，
∵a_n＞0，∴an=

1

4n-3

，
（3）b_n=

1

1 an + 1 an+1

=

1

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

4

，
∴S_n=b₁+b₂++b_n
=

5 -1

4

+

9 - 5

4

++

4n+1 - 4n-3

4

=

4n+1 -1

4

點評：本題主要考查了數列等差關系的確定和通項公式．解題的基礎是對數列公式的熟練掌握．