Question

在數列{a_n}和{b_n}中，已知a_n=aⁿ，b_n=(a+1)n+b，n=l，2，3，…，其中a≥2且a∈N*，b∈R．
(Ⅰ)若a₁=b₁，a₂＜b₂，求數列{b_n}的前n項和；
(Ⅱ)證明：當a=2，b=時，數列{b_n}中的任意三項都不能構成等比數列；
(Ⅲ)設集合A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}．試問在區間[1，a]上是否存在實數b使得C=A∩B≠，若存在，求出b的一切可能的取值及相應的集合C；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：(Ⅰ)因為a₁=b₁，所以a=a+1+b，b=-1，
由a₂＜b₂，得a₂-2a-1＜0， 所以1-＜a＜1+，
因為a≥2且a∈N*，所以a=2，所以bn=3n-1，{b_n}是等差數列，
所以數列{bn}的前n項和。
(Ⅱ)由已知b_n=3n+，
假設3m+，3n+，3t+成等比數列，其中m，n，t∈N*，且彼此不等，
則（3m+）²=（3m+）（3t+），
所以9n²+6n+2=9mt+3m+3t+2，
所以3n²-3mt=(m+t-2n)，
若m+t-2n=0，則3n²-3mt=0，可得m=t，與m≠t矛盾；
若m+l-2n≠0，則m+t-2n為非零整數，(m+t-2n)為無理數，
所以3n²-3mt為無理數，與3n²-3mt是整數矛盾，
所以數列{bn}中的任意三項都不能構成等比數列。
(Ⅲ)設存在實數b∈[1，a]，使C=A∩B≠，
設m₀∈C，則m₀∈A，且m₀∈B，
設m₀=a^t(t∈N*)，m₀=（a+1）s+b(s∈N*)，
則a^t=（a+1）s+b，所以，
因為a，t，s∈N*，且a＞2，所以a^t-b能被a+1整除，
(1)當t=1時，因為b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，所以，；
(2)當t=2n(n∈N*)時，
，
由于b∈[1，a]，b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，當且僅當b=1時，a^t-b能被a+1整除；
(3)當t=2n+1(n∈N*)時，

，
由于b∈[1，a]，b+1∈[2，a+1]，
所以，當且僅當b+1=a+1，即b=a時，a^t-b能被a+1整除；
綜上，在區間[1，a]上存在實數b，使C=A∩B≠成立，
且當b=1時，C={y|y=a²ⁿ，n∈N*}；
當b=a時，c={y|y=a²ⁿ⁺¹，n∈N*}。