Question

給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓Ｃ的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到Ｆ的距離為．

（Ⅰ）求橢圓Ｃ的方程和其“準圓”方程；

（Ⅱ）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點M，N ．

（1）當P為“準圓”與軸正半軸的交點時，求的方程；

（2）求證：|MN|為定值．

Answer 1

（I）因為，所以

所以橢圓的方程為，    

又=2, 所以準圓的方程為_.  

（II）（1）因為準圓與軸正半軸的交點為P（0，2）,

設過點P（0，2），且與橢圓有一個公共點的直線為, 

所以，消去y ，得到 ,  

因為橢圓與只有一個公共點, 所以 , 

解得.所以方程為.          

（2）①當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

當方程為時，此時與準圓交于點，

此時經過點(或)且與橢圓只有一個公共點的直線是

(或)，即為(或)，顯然直線垂直；

同理可證 方程為時，直線垂直.         

② 當都有斜率時，設點，其中，

設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為,

則，消去得到，

即,

，

經過化簡得到:,

因為，所以有,

設的斜率分別為,因為與橢圓都只有一個公共點，

所以滿足上述方程,

所以，即垂直.       

綜合①②知：

因為經過點，又分別交其準圓于點M，N，且垂直，

所以線段MN為準圓的直徑，所以|ＭＮ|＝４.