Question

已知，函數，（其中為自然對數的底數）．（1）判斷函數在區間上的單調性；（2）是否存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

若，則，在區間上單調遞增

若，則，函數在區間上單調遞減

故不存在，使曲線在

處的切線與軸垂直

【解析】解（1）：∵，∴．

令，得．

①若，則，在區間上單調遞增.

②若，當時，，函數在區間上單調遞減，

當時，，函數在區間上單調遞增，

③若，則，函數在區間上單調遞減. ……6分

（2）解：

∵，，

由（1）可知，當時，．

此時在區間上的最小值為，即．

當，，，∴．

曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解．

而，即方程無實數解．

故不存在，使曲線在

處的切線與軸垂直……12分