Question

已知函數f(x)=2-

1

x

，a1=

3

2

，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）計算a₂，a₃，a₄的值，并猜想數列{a_n}的通項公式（不用證明）；
（2）試證明：對任意n∈N^*，a₁，a_n，

1

an

不可能成等差數列．

Answer 1

分析：（1）由已知可得數列{a_n}的遞推公式為，a_n+1=f（a_n）=2-

1

an

，分別令n=2，3，4依次計算求解即可．
（2）假設存在m∈N^*，使得a₁，a_m，

1

am

成等差數列，根據等差數列的定義，a₁+

1

am

=2a_m，通過此關于m的方程解的有誤進行判斷與證明．

解答：解：（1）由已知可得數列{a_n}的遞推公式為，a_n+1=f（a_n）=2-

1

an

求得a2=

4

3

，a3=

5

4

，a4=

6

5

猜想an=

n+2

n+1

(n∈N*)
（2）假設存在m∈N^*，使得a₁，a_m，

1

am

成等差數列，則a₁+

1

am

=2a_m，
即

3

2

+

m+1

m+2

=2×

m+2

m+1

，即

5m+8

2(m+2)

=

2(m+2)

m+1

所以m²-3m-8=0，該方程沒有正整數解，所以假設不成立，
所以對任意n∈N^*，a₁，a_n，

1

an

不可能成等差數列．

點評：本題考查數列遞推公式，通項公式的基本知識和計算技能，考查了反證法．屬于基礎題．