Question

【題目】如圖，在三棱柱中，底面,,,.

（1）證明;

（2）求異面直線和所成角的余弦值;

（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）；（3）

【解析】

試題（1）由底面,得;再在三角形中解得,由線面垂直判定定理得,即得;（2）利用空間向量求線線角,首先根據條件建立直角坐標系,設立各點坐標,得異面直線和 方向向量,根據向量數量積求向量夾角,最后根據向量夾角與線線角關系得結果(3) 利用空間向量求二面角,首先根據條件建立直角坐標系,設立各點坐標,根據方程組解得平面法向量,根據向量數量積求兩法向量夾角,最后根據向量夾角與二面角關系得結果

試題解析：解（1）在三棱柱中，∵，∴

在中，，，，由正弦定理得，

∴，即。且，為平面內兩條相交直線，

∴，又，∴

（2）如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，

∴，，∴，即異面直線和所成角的余弦值為

（3）可取為平面的法向量，設平面的法向量為，則，又∵，，∴，不妨取，則，因此有

∴二面角的平面角的余弦值為