Question

若函數f（x）=3ax-2a+1在區間[-1，1]上無實數根，則函數g（x）=（a-

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）（x³-3x+4）的單調遞減區間是（　　）

• A、（-2，2）
• B、（-1，1）
• C、（-∞，-1）
• D、（-∞，-1），（1，+∞）

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）=3ax-2a+1在區間[-1，1]上無實數根，由函數零點與方程根的關鍵，結合零點存在定理，構造關于a的不等式，求出a的取值范圍，進而判斷出函數g（x）=（a-

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）（x³-3x+4）的單調性．

解答：解：函數f（x）=3ax-2a+1在區間[-1，1]上無實數根
則f（-1）•f（1）＞0
即（-5a+1）•（a+1）＞0
解得-1＜a＜

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則a-

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＜0，
則函數g（x）=（a-

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）（x³-3x+4）的單調性，與y=x³-3x+4的單調性相反
∵y′=3x²-3，則當x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）時，y=x³-3x+4為增函數
則函數g（x）=（a-

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）（x³-3x+4）的單調遞減區間為（-∞，-1），（1，+∞）
故選D

點評：本題考查的知識點是函數的零點與方程根的關系，函數單調性的性質，其中根據函數f（x）=3ax-2a+1在區間[-1，1]上無實數根，結合零點存在定理，構造關于a的不等式，求出a的取值范圍，是解答本題的關鍵．