Question

設M是由滿足下列兩個條件的函數構成的集合：
①議程有實根；②函數的導數滿足0<<1.
（I）若，判斷方程的根的個數；
（II）判斷（I）中的函數是否為集合M的元素；
（III）對于M中的任意函數，設x₁是方程的實根，求證：對于定義域中任意的x₂，x₃，當| x₂－x₁|<1，且| x₃－x₁|<1時，有

Answer 1

（1）唯一 （2）是

（I）令
則
是單調遞減函數.
又取
在其定義域上有唯一實根.
（II）由（I）知方程有實根（或者由，易知x=0就是方程的一個根），滿足條件①.

滿足條件②.故是集合M中的元素.
（III）不妨設在其定義域上是增函數.

是其定義域上的減函數.
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