Question

下圖是一幾何體的直觀圖、主觀圖、左視圖、俯視圖．其中俯視圖為正方形，主視圖為直角梯形，左視圖為等腰直角三角形，且CE是中線．
（1）若F為PD的中點，求證：AF⊥面PCD；
（2）證明：BD∥面PEC．

Answer 1

分析：（1）由由三視圖知，ABCD為正方形，BE∥

1

2

PA，PA⊥平面ABCD，PA=AD．可證DC⊥面APD，AF?面APD，從而DC⊥AF，利用線面垂直的判定定理即可證得AF⊥面PCD；
（2）取PC中點M，連接AC，AC與BD的交點為N，求證EM∥BD再由線面平行的判定定理證BD∥平面PEC；

解答：證明：由三視圖知，ABCD為正方形，BE∥

1

2

PA，PA⊥平面ABCD，PA=AD．
（1）∵F為PD中點，
∴AF⊥PD，
又∵

DC⊥DA DC⊥PA DA∩PA=A

，
∴DC⊥面APD，AF?面APD，
∴DC⊥AF，又DC∩PD=D，
∴AF⊥面PCD；
（2）取PC中點M，連接AC，AC與BD的交點為N，
連接MN，
∴MN∥

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2

PA，PA∥BE，
∴MN

∥ .

.

BE，
故四邊形BEMN為平行四邊形，
∴BD∥EM，
∵EM?面PEC，BD?面PEC，
∴BD∥面PEC．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定及直線與平面平行的判定，難點在于三視圖的理解與應用及（2）的證明，屬于中檔題．