Question

(本題滿分16分)

已知數列{a_n}滿足：a₁=a₂=a₃=2，a_n+1=a₁a₂…a_n-1(n≥3)，記

(n≥3)．

(1)求證數列{b_n}為等差數列，并求其通項公式；

(2)設，數列{}的前n項和為S_n，求證：n<S_n<n+1．

Answer 1

解：(1)方法一  當n≥3時，因①，

故②． ……………………………………2分

②-①，得  b_n-1-b_n-2===1，為常數，

所以，數列{b_n}為等差數列． …………………………………………………………5分

因  b₁==4，故  b_n=n+3．   ……………………………………8分

方法二  當n≥3時，a₁a₂…a_n=1+a_n+1，a₁a₂…a_na_n+1=1+a_n+2，

將上兩式相除并變形，得  ．……………………………………2分

于是，當n∈N*時，

     

     

      ．

又a₄=a₁a₂a₃-1=7，故b_n=n+3(n∈N*)．

所以數列{b_n}為等差數列，且b_n=n+3． ………………………………………………8分

(2) 方法一  因  ，…………………12分

故  ．

所以  ， ………15分

即  n＜S_n＜n+1． ………………………………………………………………………16分

方法二  因，故>1，．……………………10分

=<<，

       故<，于是．……………………………………16分