Question

【題目】一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.

(1)請按字母F、G、H標記在正方體相應地頂點處(不需要說明理由)；

(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系．并說明你的結論；

(3)證明：直線DF⊥平面BEG.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）平面BEG∥平面ACH；（3）證明見解析

【解析】試題分析：(1)折疊成正方體即可得出；（2）根據條件可證四邊形BCEH為平行四邊形，因此BE∥CH，由線面平行判定定理即可得證；（3）根據DH⊥平面EFGH可得DH⊥EG，又EG⊥FH，可證EG⊥平面BFHD，所以DF⊥EG，同理可證同理DF⊥BG，所以命題得證．

試題解析：

　(1)點F、G、H的位置如圖所示．

(2)平面BEC∥平面ACH．證明如下：

因為ABCD－EFGH為正方體，所以BC∥FG，BC＝FG，

又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，

于是四邊形BCEH為平行四邊形，

所以BE∥CH，

又CH平面ACH，BE平面ACH，

所以BE∥平面ACH，

同理，BG∥平面ACH，

又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH．

(3)連接FH交EG于點O，連接BD．

因為ABCD－EFGH為正方體，所以DH⊥平面EFGH，

因為EG平面EFGH，所以DH⊥EG，

又EG⊥FH，EG∩FH＝O，

所以EG⊥平面BFHD，

又DF平面BFHD，所以DF⊥EG，

同理DF⊥BG，

又EG∩BG＝G，

所以DF⊥平面BEG．