Question

設{a_n}是各項都為正數的等比數列，{b_n}是等差數列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，求數列{S_n-b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）設數列{a_n}的公比為q，數列{b_n}的公差為d，根據等差等比數列的通項公式，結合題意建立關于q、d的方程組，解出q=2且d=4，即可得到數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）由（1）的結論，算出{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ-1，從而得到S_n-b_n=2ⁿ-4n+2，再利用等差等比數列的前n項和公式加以計算，即可得到數列{S_n-b_n}的前n項和T_n的表達式．
解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，等差數列{b_n}的公差為d，
∵a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．
∴q²+（1+4d）=21，q⁴+（1+2d）=25
解之得q=2，d=4（舍去負值）
∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1，b_n=b₁+（n-1）d=4n-3
即數列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1，{b_n}的通項公式b_n=4n-3；
（2）由（1）得{a_n}的前n項和S_n==2ⁿ-1，
∴S_n-b_n=2ⁿ-1-（4n-3）=2ⁿ-4n+2
因此，{S_n-b_n}的前n項和為
T_n=（2¹-4×1+2）+（2²-4×2+2）+…+（2ⁿ-4×n+2）
=（2+2²+…+2ⁿ）-4（1+2+…+n）+2n
=2ⁿ⁺¹-2-4×+2n=2ⁿ⁺¹-2n²-2．
點評：本題給出等差數列和等比數列滿足的條件，求它們的通項公式并依此求另一個數列的前n項和．著重考查了等差等比數列的通項公式、前n項和公式等知識，考查了方程思想和轉化化歸的數學思想，屬于中檔題．