Question

某市環保部門通過研究多年來該地區的大氣污染狀況后，建立了一個預測該市一天中的大氣污染指標f（t）與時間t（單位：小時）之間的關系的函數模型：f(t)=|g(t)+

1

3

-a|+2a，t∈[0，24)，其中，g(t)=

1

2

sin(

π

24

|t-18|)代表大氣中某類隨時間t變化的典型污染物質的含量；參數a代表某個已測定的環境氣象指標，且a∈[0，

3

4

]．
（1）求g（t）的值域；
（2）求f（t）的最大值M（a）的表達式；
（3）若該市政府要求每天的大氣環境綜合指數不得超過2.0，試問：若按給定的函數模型預測，該市目前的大氣環境綜合指數是否會超標？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據t的范圍求出|t-18|的范圍，進而求出

π

24

|t-18|的范圍，然后結合三角函數的性質求出g（t）的值域；
（2）由題意先求出f（t）的解析式，然后在區間[0，

7

12

]和（

7

12

，

3

4

]上討論絕對值的取值得到M（a）的解析式為分段函數；
（3）利用（2）的結論，分a∈[0，

7

12

]時和a∈(

7

12

，

3

4

]時分別討論M（a）的最值與2的關系即可．

解答：解：（1）因為0≤t≤24，
得到

π

24

|t-18|∈[

π

3

，

3π

4

]，
根據正弦函數的性質得到g（t）的值域為[0，

1

2

]；
（2）由（1）可知g（t）的值域為[0

1

2

]，f（t）的最大值M（a），
當a∈[0，

7

12

]時，M（a）=|

1

2

+

1

3

-a|+2a=a+

5

6

；
當a∈（

7

12

，

3

4

]時，M（a）=|

1

3

-a|+2a=3a-

1

3

．
則有M（a）=

a+ 5 6 ，a∈[0 7 12 ]  3a- 1 3 ，a∈( 7 12 3 4 ]

；
（3）當a∈[0，

7

12

]時，M（a）=a+

5

6

≤

7

12

+

5

6

=

17

12

＜2；
當a∈(

7

12

，

3

4

]時，M（a）=3a-

1

3

≤

9

4

-

1

3

=

23

12

＜2．
所以若按給定的函數模型預測，該市目前的大氣環境綜合指數不會超標．

點評：本題考查利用函數知識解決應用題的有關知識．新高考中的重要的理念就是把數學知識運用到實際生活中，如何建模是解決這類問題的關鍵．同時要熟練地利用導數的知識解決函數的求最值問題．