Question

如圖，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD．AD=AB=2BC，四邊形ABEF為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）C、D、E、F四點共面嗎？證明你的結論；
（Ⅱ）設AF=kAB（0＜k＜1），二面角A-FD-B的余弦值為，求實數k的值．

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）C、D、E、F四點不共面．
證明：假設C、D、E、F四點共面．
因為EF∥AB，AB⊆平面ABCD，EF?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，
因為EF⊆平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，所以EF∥CD，
又EF∥AB，所以AB∥CD，這與已知矛盾．
所以假設不成立，因此C、D、E、F四點不共面．------（6分）
（Ⅱ）因為平面ABEF⊥平面ABCD，且AF⊥AB，所以AF⊥平面ABCD，
所以平面AFD⊥平面ABCD．
△ABD為正三角形，連接BM，則BM⊥AD，所以BM⊥平面ADF．
作MT⊥FD于T，連接BT，則由三垂線逆定理可知BT⊥FD，所以∠MTB就是所求二面角的平面角．---------（9分）
不妨設AB=2，則．
由于，所以，所以．
由△DMT∽△DFA，可得，解得，所以．--------（14分）
解法二：以D為原點，DC為x軸，DA為y軸建立右手直角坐標系．不妨設AB=2，則AF=2k．
所以D（0，0，0），，，A（0，2，0），F（0，2，2k），．--------（3分）
（Ⅰ）若C、D、E、F四點共面，則存在實數λ，μ使得，即，λ，μ無解，
因此C、D、E、F四點不共面．--------（6分）
（Ⅱ）因為平面ABEF⊥平面ABCD，且AF⊥AB，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥DC，又因為AD⊥DC，所以DC⊥平面AFD，所以平面AFD的一個法向量．
設平面BDF的法向量為=（x，y，z），則有，
即，則可以得到其中的一個法向量為．
由因為二面角A-FD-B的余弦值為，所以，解得．----------------（14分）
分析：解法一：（Ⅰ）C、D、E、F四點不共面．利用反證法進行證明；
（Ⅱ）作MT⊥FD于T，連接BT，則由三垂線逆定理可知BT⊥FD，所以∠MTB就是所求二面角的平面角，從而可求得結論；
解法二：以D為原點，DC為x軸，DA為y軸建立右手直角坐標系（Ⅰ）若C、D、E、F四點共面，則存在實數λ，μ使得，確定所得方程組無解即可；
（Ⅱ）確定平面AFD的一個法向量，求出平面BDF的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結論．
點評：本題考查四點共面，考查面面角，考查利用向量方法解決立體幾何問題，確定平面的法向量是關鍵．