Question

已知三棱錐D-ABC，D₁為底面△ABC的重心，過A、B、C分別作DD₁的平行線分別交對面所在的平面于A₁，B₁，C₁點．（如，過A點作DD₁的平行線交BCD所在的平面于A₁點）
（1）證明：AA₁=3DD₁；
（2）若DA、DB、DC兩兩垂直，且DA=DB=4，DC=3，求三棱錐D₁-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

解：（1）∵點A₁是過A點作DD₁的平行線與BCD所在的平面的交點
∴設BC中點為E，連接A₁E，則點D必定在A₁E上
∵△ABC中，D₁為重心，∴AD₁=3D₁E
又∵△AA₁E中，DD₁∥AA₁，
∴==，可得AA₁=3DD₁；
（2）連接A₁B、A₁C
∵DA⊥DB，DA=DB=4，∴S_△ABD=×4×4=8
∵DC⊥DB，DC⊥DA，且DA∩DB=D
∴DC⊥平面ABD，可得V_D-ABC=V_C-ABD=×S_△ABD×CD=8
∴V_A1-ABC=3V_D-ABC=24
∵三棱錐D₁-A₁B₁C₁與三棱錐A₁-ABC等底等高
∴三棱錐D₁-A₁B₁C₁的體積V=24．
分析：（1）根據A₁是過A點作DD₁的平行線與BCD所在的平面的交點，可得BC中點E與A₁的連線必定經過點D，再在△AA₁E中利用平行線分線段成比例定理，結合重心的性質，可證出AA₁=3DD₁；
（2）利用線面垂直的判定不難得到DC⊥平面ABD，可得V_D-ABC=V_C-ABD=8，結合（1）的結論可得三棱錐A₁-ABC的體積是三棱錐D-ABC的三倍，得到V_A1-ABC=24，最后根據等底等高的兩個三棱錐的體積相等，可求出三棱錐D₁-A₁B₁C₁的體積．
點評：本題給出特殊的三棱柱，叫我們證明線段的倍數關系并且求三棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定、平行線的性質和錐體的體積公式等知識，屬于基礎題．