Question

已知橢圓C₁的中心和拋物線C₂的頂點都在坐標原點O，C₁和C₂有公共焦點F，點F在x軸正半軸上，且C₁的長軸長、短軸長及點F到C₁右準線的距離成等比數列．
（Ⅰ）當C₂的準線與C₁右準線間的距離為15時，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）設點F且斜率為1的直線l交C₁于P，Q兩點，交C₂于M，N兩點．當時，求|MN|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設C₁、C₂的標準方程，進而可得到a=2c，再求出C₁的右準線方程、C₂的準線方程，根據C₁的長軸長、短軸長及點F到C₁右準線的距離成等比數列求出a，b，c的值，得到答案．
（2）先表示出直線l的方程，然后設M、N、P、Q四點的坐標，聯立直線和橢圓方程消去y，得到關于x的一元二次方程進而得到兩根之和、兩根之積再由可求出c的值，最后聯立直線和拋物線方程消去y得到關于x的一元二次方程，同樣可得到兩根之和根據是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c可最后答案．
解答：解：（Ⅰ）設C₁：（a＞b＞0），其半焦距為c（c＞0）．則C₂：y²=4cx．
由條件知，得a=2c．C₁的右準線方程為，即x=4c．C₂的準線方程為x=-c．
由條件知5c=15，所以c=3，故a=6，．
從而C₁：，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由題設知l：y=x-c，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由（Ⅰ）知，即3x²+4y²=12c²．
由，知x₃，x₄滿足7x²-8cx-8c²=0，
從而．
由條件，得，故C₂：y²=6x．
由得，所以x₁+x₂=9．
于是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=12．
點評：本題主要考查橢圓的標準方程和直線與圓錐曲線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是每年的重頭戲，一般作為壓軸題出現，要想答對必須熟練掌握其基礎知識，多做練習．