Question

已知數列

   （I）若函數求證：；

   （II）設。試問：是否存在關于n的整式g(n)，使得對于一切不小于2的自然數n恒成立？若不存在，試說明理由；若存在，寫現g(n)的解析式，并加以證明。

Answer 1

解：

又是以1為首項，1為公差的等差數列，

                                                        

   （I），

是單調遞增的，

故，

                                                                          

   （II）

假設存在關于n的整式滿足要求，則有

下面用數學歸納法證明：對于一切不小于2的自然數n恒成立。

①當n=2時，左邊，

所以左邊=右邊。

②假設時，等式成立，

即，

則當時，

左邊

右邊

時，等式也成立。

由①、②可知，等式對于一切不小于2的自然數n恒成立。

故存在滿足要求的整式 。