Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC，PA=AC，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥平面ABC，
（1）求證：OD∥平面PAB；
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）M是線段PA上的動點，當二面角M-BO-D的大小為45°時，求|PM|：|MA|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，分別求出OD和PA的方向向量，利用共線向量證明線線平行后，再由線面平行的判定定理得到OD∥平面PAB；
（2）求出直線PA的方向向量和平面PBC的法向量，代入向量夾角公式，可得直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）設存在滿足條件的點M，根據二面角M-BO-D的大小為45°，可得二面角的平面角∠MOD=45°，則在△AMO中，∠AMO=45°，∠MAO=60°，∠AOM=75°，AO=a，解△AMO，可得|PM|：|MA|的值．
解答：解：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O為原點，OA，OB，OP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz（如圖），
設AB=a，則A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），
設OP=h，則P（0，0，h）．
（Ⅰ）∵D為PC的中點，
∴=（a，0，h）
又∵=（a，0，h）．
∴=
∴∥
即OD∥PA
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵PA=AC=a
∴h=a，P點坐標為（0，0，a），
∴=（a，0，-a），=B（0，a，-a），=（-a，0，-a），
設平面PBC的法向量為=（x，y，z），
則，即
令z=1，則=（，，1）
則直線PA與平面PBC所成角θ滿足，
sinθ==
即直線PA與平面PBC所成角的正弦值為
（3）設存在滿足條件的點M，
∵M點在線段PA上，故可設=λ（0≤λ≤1）
∵BO⊥PAC，MO，DO?平面PAC，
∴∠MOD即為二面角M-BO-D的平面角
即∠MOD=45°
由（1）中OD∥PA，可得△AMO中，∠AMO=45°，∠MAO=60°，則∠AOM=75°，
由正弦定理及AO=a得
AM=a，PM=（-）a
∴|PM|：|MA|=a：（-）a=
點評：本題考查線面平行，考查線面夾角，考查存在性問題的探究，解題的關鍵是掌握線面平行的判定定理，正確運用向量的方法解決線面角、線線角．