Question

（本小題滿分16分）

已知橢圓的離心率為，一條準線．

（1）求橢圓的方程；

（2）設O為坐標原點，是上的點，為橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于兩點．

①若，求圓的方程；

②若是l上的動點，求證：點在定圓上，并求該定圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）①或 ；②設，

由①知：，消去得：=2，點在定圓=2上．

【解析】

試題分析：（1）由題設：，，，

橢圓的方程為：               ………………………… 4分

（2）①由（1）知：，設，

則圓的方程：，     ………………………… 6分

直線的方程：，             ………………………… 8分

，，  ………………………… 10分

，

圓的方程：或  …………… 12分

②解法（一）：設，

由①知：，

即：，     ………………………… 14分

消去得：=2，點在定圓=2上．……………… 16分

解法（二）：設，則直線FP的斜率為，

∵FP⊥OM，∴直線OM的斜率為，

∴直線OM的方程為：，點M的坐標為．……………14 分

∵MP⊥OP，∴,∴ 

∴=2,點在定圓=2上．     …………………………16 分

考點：本題考查了直線與橢圓的位置關系

點評：求解圓錐曲線的方程關鍵是求解a和b，可應用已知條件得到關于兩個參量的方程或由性質直接求得.