Question

已知點H（0，-3），點P在x軸上，點Q在y軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足．
（I）當點P在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設動點M的軌跡為C，如果過定點A（x，y）的直線與曲線C相交不同的兩點S、R，求證：曲線C在S、R兩點處的切線的交點在一條定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（I）設P（a，0），Q（0，b）（b＞0），M（x，y）．利用，即可得到a，b的關系，再利用，即可用x，y表示a，b，進而得到點M的軌跡方程．
（II）解法一：設，即得直線SR的方程，又A點在SR上，即可得到①
對求導得：．即可得到拋物線上S、R處的切線方程，聯立解得x，y代入①得即可．
解法二：當過點A的直線斜率不存在時與題意不符．設直線SR的方程為y-y=k（x-x），與拋物線方程聯立即可得到根與系數的關系．設，由過S，R點的切線方程聯立可得交點的坐標，再利用根與系數的關系，即可得出．
解答：解：（I）設P（a，0），Q（0，b）（b＞0），
∵，
∴，
∴a²=3b，

∴
∴
點M的軌跡方程為．
（II）解法一：設，
則直線SR的方程為：
即．
∵A點在SR上，
∴①
對求導得：．
∴拋物線上S、R處的切線方程為：②
③
聯立②③，并解之得代入①得
，
故切線的交點在定直線xx-2y=2y=0上．
解法二：當過點A的直線斜率不存在時與題意不符．設直線SR的方程為y-y=k（x-x）
代入拋物線方程得x²-4kx+4xk-4y=0．
設
由韋達定理（*）
又過S，R點的切線方程分別是：
∴，
代入（*）得，
消去k，得xx-2y-2y=0
故切線的交點在定直線xx-2y-2y=0上．
點評：熟練掌握向量的運算、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、導數的幾何意義、切線方程等是解題的關鍵．