Question

畫出函數f(x)=

x2+2x，(x≤0) ( 1 2 )x，(x＞0)

的圖象，并據圖象寫出f（x）的單調區間．
（1）填寫下表：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f（x）=x2+2x
f(x)=( 1 2 )x

（2）畫圖：
（3）f（x）的增區間是：

（-1，0）

，減區間是：

（-∞，-1）、（0，+∞）

．

Answer 1

分析：（1）根據函數的對應法則，結合指數的運算法則求出各個函數值，即可填寫題中的表格；
（2）由二次函數的圖象作法和指數函數的圖象與性質，可得函數的圖象是開口向上的拋物線y=x²+2x位于y軸左側的部分，以及指數函數y=（

1

2

）^x位于y軸右側部分組合而成，因此可作函數的圖象；
（3）由二次函數的圖象與性質和指數函數的單調性，結合（2）中作出的圖象即可得到函數的單調區間．

解答：解：（1）根據函數的解析式，可得

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f（x）=x2+2x	3	0	-1	0	3	8	15
f(x)=( 1 2 )x	8	4	2	1	1 2	1 4	1 8

（2）∵當x≤0時，f（x）=x²+2x是二次函數；當x＞0時，f（x）=（

1

2

）^x是指數函數
∴函數的圖象是開口向上的拋物線y=x²+2x位于y軸左側的部分，
以及指數函數y=（

1

2

）^x位于y軸右側部分組合而成，
因此作出函數的圖象，如右圖所示
（3）∵拋物線y=x²+2x開口向上，關于直線x=-1對稱
∴函數f（x）在（-∞，-1）上是減函數，且在（-1，0）上是增函數
又∵y=（

1

2

）^x的底數

1

2

∈（0，1），
∴函數f（x）在（0，+∞）上是減函數
因此，函數y=f（x）的增區間是（-1，0），減區間是（-∞，-1）、（0，+∞）．

點評：本題給出含有指數和二次函數的分段函數，求函數的值并作函數的圖象，著重考查了基本初等函數的圖象與性質、函數的單調性等知識，屬于基礎題．