Question

已知數列是等差數列，公差為2，a₁，=11，a_n+1=λa_n+b_n．
（I）用λ表示b_n；
（II）若的值；
（III）在（II）條件下，求數列{a_n}的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據所給的數列是一個等差數列且公差是2，應用等差數列的定義，寫出連續兩項之差的關系，得到數列{a_n}的遞推式，代入定義的新數列，整理成最簡形式．
（II）本題以數列為條件，根據兩項的比值的極限是4，寫出極限式，檢驗變量λ的值，求出結果．
（III）這是一個求數列的和的問題，寫出數列的通項，發現需要分組來解，分組后一個用等比數列前n項和，一個用錯位相減，這是一個典型的數列求和問題．
解答：解：（I）因為數列是等差數列，公差為2
∴b_n=3ⁿ⁺¹+2λⁿ⁺¹-λ•3ⁿ=2λⁿ⁺¹+3ⁿ（3-λ）??
（II）又，
與已知矛盾，
∴λ≠3
當λ＞3時，
∴λ=4
（III）由已知當λ=4時，
令
∴數列{a_n}的前n項和
點評：有的數列可以通過遞推關系式構造新數列，構造出一個我們較熟悉的數列，從而求出數列的通項公式．這類問題考查學生的靈活性，考查學生分析問題及運用知識解決問題的能力，這是一種化歸能力的體現．