Question

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發建設，陰影部分為一公共設施建設不能開發，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在一直線上），公共設施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區域的邊界交于點M，N，交曲線于點P，則△OMN（O為坐標原點）的面積的最小值為________．

Answer 1

分析：求導函數，設出P的坐標，確定過點P的切線方程，進而可得M，N的坐標，表示出三角形的面積，利用導數法，即可確定△OMN（O為坐標原點）的面積的最小值．
解答：求導函數，可得
設P（m，）（m＞0），則過點P的切線方程為y-（）=×（x-m）
令y=0，則x=，令x=0，則y=1+
∴△OMN（O為坐標原點）的面積為S==
求導函數可得S′=
令S′=0，可得16m⁴+8m²-3=0
∴m=
∴m＞時，函數單調增，0＜m＜時，函數單調減
∴m=時，函數取得極小值且為最小值，最小值為
故答案為：．
點評：本題考查導數知識的運用，解題的關鍵是確定切線方程，求出三角形的面積，利用導數法求最值，屬于中檔題．