Question

函數f（x）的定義域為D={x|x≠0，x∈R}，且滿足對于任意的x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明你的結論；
（3）當f（4）=1，f（x）在（0，+∞）上是增函數時，若f（x-1）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）取x₂=1，得f（x₁×1）=f（x₁）+f（1），即f（x₁）=f（x₁）+f（1），解之得f（1）=0；
（2）令x₁=x₂=-1，得f[-1×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解之得f（-1）=0
再令x₁=-1，x₂=x，得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）在D上為偶函數
（3）由f（4×4）=f（4）+f（4）且f（4）=1，得f（16）=2
∵f（x）在D上為偶函數，
∴不等式f（x-1）＜2等價于f（|x-1|）＜2
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數，由函數的定義域知|x-1|＞0
∴0＜|x-1|＜16，解之得-15＜x＜17且x≠1，
即原不等式的解集為（-15，1]∪[1，17）
分析：（1）在題中所給函數關系式中取x₂=1，化簡即可計算出f（1）的值等于0；
（2）令x₁=x₂=-1，代入題中等式算出f（-1）=0．再令x₁=-1且x₂=x代入，即可算出f（-x）=f（x），根據函數奇偶性定義可得f（x）在D上為偶函數；
（3）令x₁=x₂=4，算出f（16）=2．由函數為偶函數，將不等式f（x-1）＜2轉化成f（|x-1|）＜2，結合函數的單調性將問題轉化為解不等式0＜|x-1|＜16，根據絕對值不等式的解法法則即可得到滿足條件x的取值范圍．
點評：本題給出抽象函數，求特殊的函數值、討論函數的奇偶性，并依此解關于x的不等式．著重考查了函數的單調性、奇偶性和絕對值不等式的解法等知識，屬于中檔題．運用“賦值法”進行求值和化簡，是解決抽象函數問題的一般方法．