Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率為，連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；

（3）設為坐標原點，取上不同于的點，以為直徑作圓與相交另外一點，求該圓面積的最小值時點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件建立方程組求解；(2)運用拋物線的定義求解；(3)借助題設運用圓與拋物線的位置關系探求.

試題解析：

（1）由，得，再由，解得……………………1分

由題意可知，即…………………………………………………2分

解方程組得，……………………………………………………3分

所以橢圓的方程是……………………………………………………………4分

（2）因為，所以動點到定直線：的距離等于它到定點的距離，所以動點的軌跡是以為準線，為焦點的拋物線，…………………………………………6分

所以點的軌跡的方程為………………………………………………………7分

（3）因為以為直徑的圓與相交于點，所以，即…8分

設，，，

所以

因為，，化簡得……………………………………9分

所以，

當且僅當即，時等號成立．…………………………10分

圓的直徑

因為，所以當即時，，…………………11分

所以所求圓的面積的最小時，點的坐標為………………………………12分