Question

定義在R上的奇函數f（x），當x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²+mx-1．
（1）當x∈（0，+∞）時，求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0有五個不相等的實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據f（x）是定義在R上的奇函數，判斷f（0）=0，再根據當x＜0時，f（x）=-f（-x）根據x，0時，f（x）=-x²+mx-1得到x＞0時函數的解析式，最后綜合即可得到答案．
（2）由方程f（x）=0有五個不相等的實數解，得y=f（x）的圖象與x軸有五個不同的交點，又f（0）=0，所以f（x）=x²+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個不同的交點即，方程x²+mx+1=0有兩個不等正根，記兩根分別為x₁，x₂得出關于m的不等關系，從而求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）設x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=-x²-mx-1（2分）
又f（x）為奇函數，即f（-x）=-f（x），（3分）
所以，f（x）=x²+mx+1（x＞0），（4分）
又f（0）=0，（6分）
所以f(x)=

x2+mx+1 x＞0 0  x=0 -x2+mx-1  x＜0

（7分）
（2）因為f（x）為奇函數，所以函數y=f（x）的圖象關于原點對稱，（8分）
由方程f（x）=0有五個不相等的實數解，得y=f（x）的圖象與x軸有五個不同的交點，（9分）
又f（0）=0，所以f（x）=x²+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個不同的交點，（10分）
即，方程x²+mx+1=0有兩個不等正根，記兩根分別為x₁，x₂（11分）
⇒

△=m2-4＞0 x1+x2=-m＞0 x1•x2=1＞0

⇒m＜-2，（14分）
所以，所求實數m的取值范圍是m＜-2（15分）

點評：本小題主要考查函數與方程的綜合運用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．