Question

已知函數f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）試判斷是否存在實數a（a≥1），使y=f（x）的圖象與直線無公共點（其中自然對數的底數為無理數且=2.71828…）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數的導函數f′（x），再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＞0即可得函數的單調增區間和單調減區間，由于導函數中含有參數a，故要解不等式需討論a的正負；
（2）先利用（1）中的結論，求a≥1時函數f（x）的最小值g（a），再利用導數證明函數g（a）的最大值大于1+ln，從而說明存在實數a（a≥1）使f（x）的最小值大于，從而證明存在實數a（a≥1），使y=f（x）的圖象與直線無公共點．
解答：解：（1）函數f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定義域是（1，+∞）．，
①若a≤0，則在（1，+∞）上恒成立，
∴a≤0時，f（x）的增區間為（1，+∞）
②若a＞0，則，故當時，；當時，，
∴a＞0時，f（x）的減區間為的增區間為．
（2）a≥1時，由（1）可知，f（x）在（1，+∞）上的最小值為．
設，（ a≥1）
則，
∵在[1，+∞）上為減函數，∴g′（a）
∴在[1，+∞）上單調遞減，
∴g（a）_max=g（1）=+ln2，
∵+ln2-1-ln=ln＞0，∴g（a）_max＞1+ln
∴存在實數a（a≥1）使f（x）的最小值大于，
故存在實數a（a≥1），使y=f（x）的圖象與直線無公共點．
點評：本題主要考查了導數在函數單調性中的應用，利用導數求函數的單調區間，利用函數單調性求函數的最值的方法，分類討論和轉化化歸的思想方法