Question

【題目】設數列前項和為,對任意,點都在函數圖像上．

（1）求、、,并猜想數列的通項公式；

（2）用數學歸納法證明（1）的猜想；

（3）若數列滿足：,,且對任意的,都有、、成公比為的等比數列,、、成等差數列,設,求數列的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）2,4,6,；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

(1) 由題意化簡可得,再分別令,代入求解、、即可猜測.

(2)根據數學歸納法的一般方法,分析時,命題成立,再假設時,命題成立,即.則時代入求解得即可證明.

(3)根據題意先求根據求得,再根據、、成公比為的等比數列,以及、、成等差數列可得,進而求得,再代入計算可得即可證明數列為等差數列,進而求得通項公式.

（1）由題意,,∴,

令,得,∴,令,得,∴,

令,得,∴,

猜測；

（2）證明：時,命題成立,

假設時,命題成立,即,

則時,①,②,

②－①得,∴,即時,命題也成立,

由、可知,對任意的,都有成立,

（3）,,

∵、、成公比為的等比數列,∴,

又∵、、成等差數列,∴,

從而,∴,

∴,∴是首項為1,公差為1的等差數列,

∴．