Question

已知數列的前項和為，，且.數列滿足, 且.

   （1）求證：數列為等差數列；

   （2）求證：數列為等比數列；

   （3）若當且僅當時，取得最小值，求的取值范圍.

Answer 1

（1）證明：由

可得.                              

即.

可知數列為等差數列.                                     

   （2）證明：∵為等差數列，

∴公差

∴                               

又，

∴

∴

                                                                   

又

∴對得.

∴數列是公比為的等比數列.                            

（3）解：由(Ⅱ)得

∴

又，

可知數列為遞增數列.                                          

由當且僅當時，取得最小值可得

.

∴

又當時，由數列為遞增數列，

可知取得最小值時，.

即當且僅當時，取得最小值的充要條件是  

由得，

解得.

由得，

解得.

∴的取值范圍為.