Question

已知圓M的圓心M在y軸上，半徑為1．直線l：y=2x+2被圓M所截得的弦長為，且圓心M在直線l的下方．
（1）求圓M的方程；
（2）設A（t，0），B（t+5，0）（-4≤t≤-1），若AC，BC是圓M的切線，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設圓心M（0，b），利用M到l：y=2x+2的距離，結合直線l被圓M所截得的弦長為，求出M坐標，然后求圓M的方程；
（2）當直線AC，BC的斜率都存在時，求出設AC斜率，BC斜率為k₂，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達式，從而求出面積的最小值，再考慮斜率不存在時的情形，從而得解．
解答：解：（1）設M（0，b）由題設知，M到直線l的距離是=…（2分）
所以=，解得b=1或b=3…（4分）
因為圓心M在直線l的下方，所以b=1，
即所求圓M的方程為x²+（y-1）²=1…（6分）
（2）當直線AC，BC的斜率都存在，即-4＜t＜-1時
直線AC的斜率k_AC=tan2∠MAO==，
同理直線BC的斜率k_BC=…（8分）
所以直線AC的方程為y=（x-t），
直線BC的方程為y=（x-t-5）…（10分）
解方程組
得x=，y=…（12分）
所以y==2-
因為-4＜t＜-1，
所以-≤t²+5t+1＜-3
所以≤y＜．
故當t=-時，△ABC的面積取最小值×5×=．…（14分）
當直線AC，BC的斜率有一個不存在時，即t=-4或t=-1時，易求得△ABC的面積為．
綜上，當t=-時，△ABC的面積的最小值為．…（16分）
點評：本題以圓的弦長為載體，考查直線與圓的位置關系，三角形面積的最值的求法，考查計算能力．