Question

（本題滿分14分）

如圖，三角形中，是邊長為1的正方形，平面底面，若分別是的中點．

（1）求證：底面；

（2）求證：⊥平面;

（3）求幾何體的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1）只需證平面HGF//平面ABC；（2）只需證AC⊥BC，BE⊥AC即可。 （3）。

【解析】

試題分析：（1）證：取BE的中點H，連結HF、GH，

∵G、F分別是EC和BD的中點

∴HG//BC，HF//DE，……………… 2分

又∵ADEB為正方形    ∴DE//AB，從而HF//AB

∴HF//平面ABC，HG//平面ABC, HF∩HG=H,

∴平面HGF//平面ABC      ∴GF//平面ABC………………5分

(證明GF//AC,相應得分)

（2）∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB，………………6分

又∵平面ABED⊥平面ABC，交線是AB,∴BE⊥平面ABC    …………7分

∴BE⊥AC      又∵CA²+CB²=AB²∴AC⊥BC,     

∵BC∩BE="B," ∴AC⊥平面BCE                 ……………10分

（3）取AB的中點N，連結CN，因為AC=BC，∴CN⊥AB，    …… 11分

又平面ABED⊥平面ABC，交線是AB,CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED…… 12分

∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，  …………13分

∵C—ABED是四棱錐,

∴V_C—ABED=              …………14分

考點：面面垂直的性質定理；線面垂直的性質定理；線面平行的判定定理；線面垂直的判定定理；幾何體的體積公式。

點評：本題主要考查了空間的線面平行，線面垂直的證明，充分考查了學生的邏輯推理能力，空間想象力，以及識圖能力。