Question

已知函數f（x）=

2

3

x（x2-3ax-

9

2

）（a∈R）
（1）若函數f（x）的圖象上點P（1，m）處的切線方程為3x-y+b=0，求m的值．
（2）若函數f（x）在（1，2）內是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式求出f（x）的導函數，把P的橫坐標x=1代入導函數中求出的導函數值即為過P切線方程的斜率，又由切線方程得到切線的斜率為3，讓求出的導函數值等于3列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入，確定出f（x），把x=1代入即可求出m的值；
（2）求出f（x）的導函數，由已知f（x）在（1，2）內是增函數，得到導函數在（1，2）內恒大于等于0，解出a小于等于一個關系式，設此關系式為一個函數y，根據y在（1，2）也是增函數，由自變量x的范圍求出y的值域，即可單調y的最小值，讓a小于y的最小值即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

2

3

x³-2ax²-3x，
∴f′（x）=2x²-4ax-3，
則過點P（1，m）的切線斜率為k=f′（1）=-1-4a，
又∵切線方程為3x-y+b=0，
∴-1-4a=3，即a=-1
∴f（x）=

2

3

x³+2x²-3x，
又∵P（1，m）在f（x）的圖象上，
∴m=-

1

3

；
（2）∵函數f（x）在（1，2）內是增函數，
∴f′（x）=2x²-4ax-3≥0對一切x∈（1，2）恒成立，
即4ax≤2x²-3，
∴a≤

x

2

-

3

4x

，
∵y=

x

2

-

3

4x

在（1，2）內是增函數，
∴

x

2

-

3

4x

∈（-

1

4

，

5

8

），
∴a≤-

1

4

．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握函數的單調性與導數之間的關系，掌握不等式恒成立時滿足的條件，是一道中檔題．