Question

（本小題滿分12分）

已知函數f (x) = ln(e^x + a)(a為常數)是實數集R上的奇函數，。

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求函數的單調區間和極值；

（Ⅲ）討論關于x的方程的根的個數。

Answer 1

（本小題滿分12分）

（Ⅰ）由于f (x) 是R上的奇函數，f (0) = 0，故a = 0．--------------------3分

（Ⅱ）由（1）知．∴ =，，

當x∈(0，e)時，，∴在(0，e]上為增函數；

當x∈(e，+∞)時，，∴在（e，+∞)上為減函數；

當x = e時取極大值．    -----------------------------------------7分

（Ⅲ）令h(x) = x² – 2ex + m，即，

當x = e時, 取最小值．

由（Ⅱ）知,當x = e時取最大值．-------------------------------9分

∴當時，即時方程無解．

當時，即時方程有一解．

當時，即時方程有二解．----------------------------------12分