Question

野營活動中，學生在平地上用三根斜桿搭建一個正三棱錐形的三腳支架P-ABC進行野炊訓練．已知PC=130cm，A、B兩點間距離為50

3

cm．
（1）求斜桿PC與地面ABC所成角的大�。ㄓ梅慈�角函數值表示）；
（2）將炊事鍋看作一個點Q，用吊繩PQ將炊事鍋吊起燒水（鍋的大小忽略不計），若使炊事鍋Q到地面ABC及各條斜桿的距離都不小于30cm，試問吊繩PQ長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設P點在平面ABC上的射影為點O，連接CO，根據已知中PC=130cm，A、B兩點間距離為50

3

cm．我們易求出∠PCO即為斜桿PC與地面ABC所成角，解三角形PCO即可得到斜桿PC與地面ABC所成角的大�。�
（2）結合（1）的結論，易得PO的值，作QD⊥PC交PC于D點，由炊事鍋Q到地面ABC及各條斜桿的距離都不小于30cm，易求出吊繩PQ長的取值范圍．

解答：解：（1）設P點在平面ABC上的射影為點O，連接CO，CO=50，（3分）
在Rt△POC中，cos∠PCO=

5

13

，所以∠PCO=arccos

5

13

．（5分）
即PC與底面ABC所成角的大小為arccos

5

13

．（6分）
（2）在Rt△POC中，解得PO=120，
作QD⊥PC交PC于D點，
由QD≥30，得PQ=

QD

sin∠QPD

≥

30

5 13

=78．（11分）
又PQ≤120-30=90，（13分）
故吊繩長度的取值范圍為[78，90]．（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，解三角形的實際應用，其中（1）的關鍵是確定∠PCO即為斜桿PC與地面ABC所成角，（2）的關鍵是根據炊事鍋Q到地面ABC及各條斜桿的距離都不小于30cm，構造關于PQ的不等式．