Question

已知函數a＞1，．
（1）判斷函數的奇偶性和單調性；
（2）當x∈（-1，1）時，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數的定義域為R，關于原點對稱．令，
f（-x）==-f（x），故函數為奇函數．
由于a＞1，∴＞0，函數t=a^x在R上是增函數，函數t=- 在R上也是增函數，
故在R上是增函數．
（2）由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得，f（1-m）＜-f（1-m²）=f（ m²-1），
∴1-m＜m²-1，-1＜1-m＜1，-1＜m²-1＜1，解得1＜m＜，
故m的取值范圍是（1，）．
分析：（1）函數的定義域為R，關于原點對稱，且f（-x）=-f（x），故函數為奇函數．再由題意可得＞0，函數t=a^x在R上是增函數，函數t=- 在R上也是增函數，可得所給的函數在R上是增函數．
（2）由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得，f（1-m）＜-f（1-m²）=f（ m²-1），故有 1-m＜m²-1，-1＜1-m＜1，
-1＜m²-1＜1，由此求得m的取值范圍．
點評：本題主要考查指數型函數的性質以及應用，函數的奇偶性和單調性的應用，屬于中檔題．