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已知a＞0，b＜0，且a+b≠0，令a1=a，b1=b，且對任意的正整數k，當ak+bk≥0時，，；當ak+bk＜0時，，．
（1）求數列{an+bn}的通項公式；
（2）若對任意的正整數n，an+bn＜0恒成立，問是否存在a，b使得{bn}為等比數列？若存在，求出a，b滿足的條件；若不存在，說明理由；
（3）若對任意的正整數n，an+bn＜0，且，求數列{bn}的通項公式．
【答案】分析：（1）通過計算轉化建立{bn+an}的相鄰兩項之間的關系是解決本題的關鍵，發現該數列是等比數列，從而確定出通項公式；
（2）假設存在合題意的a，b，然后確定出bn的關系式是解決本題的關鍵，通過分析其相鄰項之間的關系即可求解
（3）通過bn的相應項之間的關系得到關于n的不等關系，然后結合已知an的遞推關系可求bn的表達式
解答：解：（1）當ak+bk≥0時，，；
∴ak+1+bk+1==
當ak+bk＜0時，，．
∴ak+1+bk+1==
∴總有ak+1+bk+1=
∵a1=a，b1=b，
∴a1+b1=b+a
∴數列{an+bn}是以a+b為首項，以為公比的等比數列
∴bn+an=（b+a）（）n-1．
（2）∵an+bn＜0恒成立
∴（b+a）＜0恒成立
∴b+a＜0
∵當ak+bk＜0時，，．
∴
∴不可能是個等比數列
故{bn}不是等比數列
（3）∵an+bn＜0，，．
∴，
∵
∴=
∴=
∴bn=
點評：本題考查數列的綜合問題，考查數列的遞推關系與通項公式之間的關系，考查學生探究性問題的解決方法，注意體現轉化與化歸思想的運用，考查學生分析問題解決問題的能力和意識．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
4
a
，β=b+
4
b
，則α+β的最小值為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）在平面直角坐標系xOy中，判斷曲線C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ為參數）與直線l：
x=1+2t
y=1-t
（t為參數）是否有公共點，并證明你的結論．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•松江區二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，a+b=1，則a+
1
a
+b+
1
b
的最小值為
5
5
．

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科目：高中數學 來源：松江區二模 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

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