Question

已知復數z滿足|z-2|=1，復數z所對應的點的軌跡是C，若虛數滿足u+

1

u

∈R，求|u|的值，并判斷虛數u所對應的點與C的位置關系．

Answer 1

分析：據得數的幾何意義可直接得出|z-2|=1中復數z在復平面上對應點的軌跡是圓．設出復數u，寫出u+

1

u

的表示式，進行復數的運算，把它整理成最簡形式，根據它是實數得到其的虛部為0，得到其是表示圓心為（0，0），半徑為1的圓，最后結合圓與圓的位置關系進行判斷即可．

解答：解：滿足條件|z-2|=1的復數z在復平面上對應點的軌跡是
圓心為（2，0），半徑為1的圓．
再設虛數u所對應的點U（a，b），
由u是虛數，設u=a+bi（a，b∈R，b≠0）則
 z+

1

z

=a+bi+

1

a+bi

=a+bi+

a-bi

a2+b2

=a+

a

a2+b2

+(b-

b

a2+b2

)i
∵u∈R∴b-

b

a2+b2

=0且b≠0得a²+b²=1即|u|=1，
它表示圓心為（0，0），半徑為1的圓，與圓心為（2，0），半徑為1的圓相外切，
即虛數u所對應的點與C的位置關系是外切．

點評：考查圓錐曲線的軌跡問題、復數的幾何意義及復數求模的公式． 題型很基本．較全面考查了復數的運算與幾何意義，本題是一個運算量比較大的問題，題目的運算比較麻煩，解題時注意數字不要出錯．