Question

【題目】如圖，以正四棱錐VABCD的底面中心O為坐標原點建立空間直角坐標系Oxyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E為VC的中點．正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，且有cos〈，〉＝－.

（1）求的值；

（2）求二面角B-VC-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）－

.

【解析】

（1）先根據題中空間直角坐標系，設出相應點的坐標，得到＝，＝，表示出cos〈，〉，再利用條件cos〈，〉＝－求解.

（2）根據（1）的結論，分別求得平面BVC一個法向量和平面DVC的一個法向量，利用面面角的向量方法求解.

（1）由空間直角坐標系Oxyz，

可得B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，V(0，0，h)，E，

所以＝，＝，

故cos〈，〉＝.

又cos〈，〉＝－，

則＝－，

解得＝

（2）由＝，

得＝，＝，

＝(2a，0，0)，＝(0，2a，0)．

設平面BVC的法向量為＝(x1，y1，z1)，

則即

則

取y1＝3，z1＝2，則＝(0，3，2)．

同理可得平面DVC的一個法向量為＝(－3，0，2)．

cos〈，〉＝＝＝，

結合圖形，可以知道二面角B-VC-D的余弦值為－.