Question

設a為實常數，已知函數在區間[1，2]上是增函數，且在區間[0，1]上是減函數。
(Ⅰ)求常數的值；
(Ⅱ)設點P為函數圖象上任意一點，求點P到直線距離的最小值；
（Ⅲ）若當且時，恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)
（Ⅱ）
（Ⅲ）(－∞，1]

(Ⅰ)因為在區間[1，2]上是增函數，則
當x∈[1，2]時，恒成立，即恒成立，所以。       （2分）
又在區間[0，1]上是減函數，則
當x∈(0，1]時，恒成立，即恒成立，所以。
綜上分析，。                                                         （4分）
(Ⅱ)因為，則。
令，則，。
所以函數圖象上點處的切線與直線平行。        （6分）
設所求距離的最小值為d，則d為點到直線的距離，
故。                                               （8分）
(Ⅲ)因為，則。因為當時，，所以在(0，1]上是減函數，從而。              （9分）
因為當時，恒成立，則。        （10分）
又當時，恒成立，則在時恒成立。   （11分）
因為在時是減函數，所以，從而，即。
故b的取值范圍是(－∞，1]。                                                  (13分)