Question

已知函數，實數a∈R且a≠0。
（1）設mn＞0，令F（x）=af（x），討論函數F（x）在[m，n]上單調性；
（2）設0＜m＜n且a＞0時， f(x)的定義域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）若不等式|a²f（x）|≤2x對x≥1恒成立，求a的范圍。

Answer 1

解：（1）任取，且，
則，
當a＞0時，，F(x)在[m，n]上單調遞增；
當a＜0時，，F(x)在[m，n]上單調遞減。
（2）由（1）知，函數af（x）在[m，n]上單調遞增，
因為a＞0，所以，f（x）在[m，n]上單調遞增，
又f(x)的定義域和值域都是[m，n]，
∴f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程=x的兩個不等的正根，
等價于方程有兩個不等的正根，
等價于且，，
則a＞，
∴n-m=，
∴a=時，n-m最大，最大值為。
（3），
則不等式對x≥1恒成立，
即，
則不等式對x≥1恒成立，
令h(x)=，易證h(x)在[1，+∞)遞增；
同理在[1，+∞)遞減，
∴，
∴，解得：，
∴a的取值范圍是[，1]。