Question

求函數f（x）=（4-3a）x²-2x+a在區間[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：對二次項系數分類討論，再確定二次函數的對稱軸與區間[0，1]的關系，即可求得最大值．

解答：解：（1）當4-3a=0，即a=

4

3

時，f（x）=-2x+a為[0，1]上的減函數，所以f（x）的最大值f（0）=a
（2）當4-3a＞0，即a＜

4

3

時，函數圖象是開口向上的拋物線，因此函數在x∈[0，1]時的最大值為f（0）或f（1），
∵f（0）=a，f（1）=4-3a-2+a=2-2a，
∴f（0）-f（1）=3a-2
①當a=

2

3

時，f（0）=f（1）=

2

3

，函數的最大值是

2

3

；
②當a＜

2

3

時，f（0）＜f（1），函數的最大值為f（1）=2-2a
③當

2

3

＜a＜

4

3

時，f（0）＞f（1），函數的最大值為f（0）=a
（3）當4-3a＜0，即a＞

4

3

時，函數圖象是開口向下的拋物線，關于直線x=

1

4-3a

對稱
∵

1

4-3a

＜0
∴f（x）在區間[0，1]上是減函數，函數的最大值為f（0）=a
綜上所述，得f（x）的最大值為g（a）=

a，a≥ 2 3 2-2a，a＜ 2 3

．

點評：本題考查含有字母參數的函數的最大值，著重考查了二次函數在閉區間上的最值的求法，考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題